(“d” ^”2″ “u” )/〖”dξ” 〗^”2″ “+” [“θ” _0 “+(” ∑_”r=1″ ^”∞” ▒〖”2″ “θ” _”r” 〗 “cos2rξ)” ]”=0″
برای حالت “r≥2” این معادله با قرار گرفتن “θ” _”r” “=-q, ” “θ” _”0″ “=a” به معادله متییو تبدیل میشود. طبق قضیه فلوکت، یکی از جوابهای معادله (2-1) به صورت زیر است[8]:
(2-3) “u=” “e” ^μξ ∑_” r= -∞” ^∞▒〖”C” _”2n” “e” ^”2inξ” 〗
معادله حرکت تحت تبدیل”ξ→-ξ” ناورداست و جواب مستقل دوم با این جایگذاری در معادله (2-2) به دست میآید.
با جایگذاری معادله (2-2) در (2-1) و حذف فاکتورe^μξ به یک سری نامتناهی از معادلات همزمان میرسیم:
(2-4) ∑_”n= -∞” ^”∞” ▒{“C” _”2n” 〖”(μ+2in)” 〗^”2″ “e” ^”2inξ” “+” [“θ” _”0″ “+” ∑_”r=1″ ^”∞” ▒〖”2″ “θ” _”r” 〗 “cos(2rξ)” ] “C” _”2n” “e” ^”2inξ” }”=0″
با نوشتن”cos(2rξ)” بر حسب “e” ^”2inξ” و e^(-“2inξ” ) و با مساوی قرار دادن ضرایب هر یک از جملات “e” ^”2inξ” با صفر به فرمول بازگشتی زیر بین مقدار “C” _”2n” میرسیم که اگر “θ” _”-r” “= ” “θ” _”r” باشد داریم:
(2-5) 〖”(μ+2in)” 〗^”2″ “C” _”2n” “+” ∑_”r=-∞” ^”∞” ▒〖”θ” _”r” “C” _”2r+2n” “=0” 〗
n روی تمام مقادیر صحیح گرفته شده است بنابراین مینویسیم که مقادیر ثابت “C” _”2n” به مقادیر “θ” _”r” بستگی دارد. [یا به (a,q) که حرکت موجی سینوسی دارند)] و به شرط اولیه بستگی ندارد. بعداً برای تعیین مقادیر “C” _”2n” توضیح میدهیم که چگونه مشخصه نمایی μ را می توان پیدا کرد.
حل کامل معادله (2-1) از دو جواب مستقل خطی تشکیل شده است یعنی:
(2-6) “u=” 〖”α’ e” 〗^”μξ” ∑_”n= -∞” ^”∞” ▒〖”C” _”2n” “e” ^”2inξ” +〖” α” e” 〗^”-μξ” ∑_”n= -∞” ^”∞” ▒〖”C” _”2n” “e” ^”-2inξ” 〗〗
که “α'” و”α”” ثابت های انتگرالگیری هستند و به شرط اولیه “ξ” _”0″ “,” “u”  ̇_”0″ “,” “u” _”0″ بستگی دارند.
همانطوری که قبلاً بیان شد، μ فقط به مقادیر a و q وابسته است. شرایط پایداری را میتوان در نمودار a-q یا نمودار پایداری نمایش داد. به ازای “μ =iβ” جواب پایدار است که β حقیقی و غیرطبیعی است. مرزهای بین نواحی پایدار و ناپایدار با “μ=im” مشخص میشود که m یک عدد صحیح است. این جوابها توابع مرتبه صحیح نامیده میشوند و مرزها، منحنیهای مشخصه یا مقادیر مشخصه نامیده میشوند. مثلاً در نمودار پایداری شکل (2-1) برای یک دستگاه که به صورت سینوسی کار میکند، برای ناحیه اول پایداری، “0≤ β≤1” است و برای ناحیه دوم پایداری، “1≤ β≤ 2” است.

شکل 2-1: نمودار پایداری a و q برای معادله متییو با در نظر گرفتن معادله در یک جهت
اگر معادله (2-5) بر جمله مرکزی “(μ+2in)” “θ” _0 “=” “ρ” _”n” تقسیم شود، آنگاه دترمینان ضرایب “C” _”2n” همگرا میشود و چون “θ” _”-r” “= ” “θ” _”r” با رابطه زیر داریم:
(2-7) Δ(μ)=|■(■(■(⋱& ⋮)&)&■(⋮& ⋮)&■(⋮&⋮)@■(⋯&”1″ &”θ” _”1″ “/” “ρ” _”-2″ )&■(“θ” _”1″ “/” “ρ” _”-2″ &”θ” _”1″ “/” “ρ” _”-2″ )&■(“θ” _”1″ “/” “ρ” _”-2″ &)@■(■(⋯@■(⋯@■(⋯@⋯)))&■(“θ” _”1″ “/” “ρ” _”-2″ @■(“θ” _”1″ “/” “ρ” _”-2″ @■(“θ” _”1″ “/” “ρ” _”-2″ @”θ” _”1″ “/” “ρ” _”-2″ )))&■(“1” @■(“θ” _”1″ “/” “ρ” _”-2″ @■(“θ” _”1″ “/” “ρ” _”-2″ @”θ” _”1″ “/” “ρ” _”-2″ ))))&■(■(“θ” _”1″ “/” “ρ” _”-2″ @■(“1” @■(“θ” _”1″ “/” “ρ” _”-2″ @”θ” _”1″ “/” “ρ” _”-2″ )))&■(“θ” _”1″ “/” “ρ” _”-2″ @■(“θ” _”1″ “/” “ρ” _”-2″ @■(“1″ @”θ” _”1″ “/” “ρ” _”-2″ ))))&■(■(“θ” _”1″ “/” “ρ” _”-2″ @■(“θ” _”1″ “/” “ρ” _”-2″ @■(“θ” _”1″ “/” “ρ” _”-2″ @”1″ )))&■(⋯@■(@■(⋯@⋱)))))|
برای این که مجموعه معادلات سازگار باشند، این دترمینان باید صفر باشد، میتوان نشان داد که این معادل است با[9]:
(2-8) “cosh” ⁡(“μπ” )”=1-2Δ(0)” 〖”sin” 〗^”2″ [(“π” √(“θ” _0 ) “/2” )]
(2-9) 〖”sin” 〗^”2″ ⁡[(“μλπ” )”/2″ ] “=Δ(0)” 〖”sin” 〗^”2″ [(“π” √(“θ” _0 ) “/2” )]

تقریبهای خوبی برای “Δ” (0) با در نظر گرفتن دترمینان کوتاه شده به عنوان دترمینانهای 3×2، 5×5، 4×7 مرکزی میتوان به دست آورد که به وسیله خطوط مقطع در معادله (2-7) نشان داده شده است. برای جداکننده جرم در حالت سینوسی، حتی با یک دترمینان 5×5 به تقریبهای خوبی میرسیم که این مطلب بیان میکند هماهنگهای مرتبه بالاتر در شکل موج که در اطراف نقطه قطع شدگی وارد میشوند اثر کمی روی ماهیت حرکت یون دارد.
با استفاده از معادله (2-9) میتوان شرایط پایداری را برای “0≤ β≤1” به صورت زیر به دست آورد:
(2-10) “0≤ Δ(0)sin” [(“π” √(〖” θ” 〗_0 ) “/ 2″ )]”≤1”
که علامت تساوی، منحنیهای مشخصه یا مرزها را در فضای چند بعدی “θ” _”r” میدهد.
2-2 معادله متییو:
برای دستگاههایی که به صورت سینوسی کار میکنند معادله متییو به کار میرود و معادلات ساده میشوند. به علت برقراری روابط 〖”θ” _”r≥2″ “=0,θ” 〗_”r” “=- q, ” “θ” _0 “=a” ، برای محاسبه ضرایب بسط “C” _”2n” در نواحی پایدار، مقادیر “θ” را در معادله (2-5) قرار میدهیم که چون “μ=iβ” ، داریم]6و7 [ :
(2-11) 〖”a” _”2n” “C” 〗_”2n-2″ “+” 〖”b” _”2n” “C” 〗_”2n” “+” 〖”a” _”2n” “C” 〗_”2n+2″ “=0”
(2-12) “a” _”2n” “=” “q” /(“β+2n” )^”2″
“b” _”2n” “=1-” [“a” /(“β+2n” )^”2″ ]
معادله 2-11 را میتوان به سادگی مرتب کرد:

(2-13) “C” _”2n” /”C” _”2n-2″ “=” (“-” “a” _”2n” )/((“b” _”2n” “+” “a” _”2n” “C” _”2n+2″ “/” “C” _”2n” ) )
بنابراین:
(2-14) “C” _”2n” /”C” _”2n-2″ “=-” 〖” a” 〗_”2n” “/” (“b” _”2n” “-” “a” _”2n” “a” _”2n+2″ “/(” “b” _”2n+2″ “-” “a” _”2n-2″ “a” _”2n+4″ “)/(” “b” _”2n+4″ “+…” )
با قرار دادن 1-n به جای n در معادله (2-11) و مرتب کردن آن، دومین رابطه به صورت زیر بدست می آید:
(2-15) …”C” _”2n” /”C” _”2n-2″ “=” “b” _”2n-2″ /”a” _”2n-2″ “+” “a” _”2n-2″ ” /” 〖” b” 〗_”2n-4″ “-” “a” _”2n-4″ “a” _”2n-6″ “/” “b” _”2n-2″ 〖” -” “a” _”2n-4″ “a” _”2n-6″ ” ” 〗_ “/”
بنابراین، برای a و q داده شده و با بکار بردن معادله (2-9) و با دترمینانی که مطابق با معادله متییو ساده شده و متناسب با دقت آن، “β” را میتوان بهدست آورد. معادله (2-14) به ازای “n≥1” و معادله (2-15) به ازای “n<0" ، برای |"n" |"=1,2,3" با به کار بردن جملات منفی محاس به شدهاند. تا وقتی که قدرت جوابهای متوالی کمتر از مقدار مشخص شده باشد. بنابراین ماهیت حرکت یون به طور کامل از مقادیر a و q مشخص میشود همچنین فرکانس اصلی حرکت یون ترکیبی از فرکانسهای بالاتر و عوامل وزن نسبی آنها مشخص میشود.
روشهای تقریبی متعددی برای تعیین β میتوان در منابع علمی پیدا کرد. سادهترین تقریب از این قرار است[7]:
(2-16) “β=” [“a+” (“q/2″ )]^”1/2”
و تقریب دقیقتر به صورت زیر است:
(2-17) “β”=〖[ a-((a-1) q^2)/(2(〖a-1)〗^2-q^2 )-((5a+7) q^4)/(32(a-1)^3 (a-4) )-((9a^2+58a+29) q^4)/(64(a-1 )^( 5) (a-4)(a-9) ) ]〗^( 1/2)
جداولی از مقادیر “β” برای نواحی پایداری پایینتر وجود دارد.
در حال حاضر، روشهای تحلیلی عموماً به وسیله راههای دینامیکی فضای فاز جایگزین شدهاند.
بعضی مقادیر ضرایب “C” _”2n” بر حسب مقادیر “q,β” به ازای “a=0” در شکل (2-2) نشان داده شده است. که برکلینگ با به کار بردن معادلاتی مانند (2-13) و (2-14) آنها را محاسبه کرده است.
مقادیر مشخصه (مرزهای پایداری) برای نواحی پایداری پایینتر به صورت زیر به دست آمدهاند:
(2-18) (a) “a” _0 “=-” “q” /”2″ “+” (“7” “q” ^”4″ )/”128″ “-” (“29” “q” ^”5″ )/”2304″ “+…”
(b) “b” _”1″ “=1-q-” “q” ^”2″ /”8″ “+” “q” ^”3″ /”64″ “-” “q” ^”4″ /”1536″ “-” (“11” “q” ^”2″ )/”36864″ “+…”

2-3 روش ماتریسی:
این روش که بر پایه قضیه جبر ماتریسی سیلوستر قرار دارد، برای حل معادلات دیفرانسیل و هیل به کار رفته است.
این روش راه حل معادله (2-1) را کاهش میدهد و برای حل بسیاری از مسائل فیزیکی قابل کاربرد است. در حل مسائل مدار اولیه، روش ماتریسی برتریهای مسلمی نسبت به روشهای قضیهی فلوکت در حل معادله هیل به کار برده است، خواهد داشت. این روش از نظر زمان محاسبه نسبت به انتگرالگیری نقطه به نقطه خیلی اقتصادیتر است. این روش در تجزیه و تحلیل بر اساس دینامیک فضای فاز کاربرد مهمی دارد. ریچارد، هوی، و هیلر [8] از روش ماتریسی در حل معادلات مربوط به صافی جرمی با موج مربعی استفاده کردند. باریل نشان داد [9] که استفاده از ماتریس به طور عمومی در مورد دستگاههای چهارقطبی که به صورت سینوسی کار میکنند مفید است به ا ین صورت که سری تیلور که شامل n امین مشتق مکان یون یعنی u بود را برای محاسبه عناصر ماتریس بکار بردند و پایپ نیز که موج سینوسی را در نظر گرفته است با تقسیم موج به تعداد زیادی موج مربعی، این ماتریس را محاسبه کرده است.
فرض کنید “u” _”1″ “(t)” و “u” _”2″ “(t)” دو جواب مستقل خطی معادله زیر در بازه “0≤ t ≤T” باشند.
(2-19) (“d” ^”2″ “x” )/〖”dt” 〗^”2″ “+F(t)x=0”
مقدار x(t) و مشتق اول آن “x” ^”‘” (“t” )”=v(t)” را میتوان به شکل زیر بیان کرد (2-20) “x” (“t” )” = ” “A” _”1″ “u” _”1″ (“t” )”+” “A” _”2″ “u” _”2″ (“t” )
“v(t)= ” “A” _”1″ 〖”u'” 〗_”1″ (“t” )”+” “A” _”2″ 〖”u'” 〗_”2″ (“t” )
میتوانیم داشته باشیم:
(2-21) [■(“x(t)” @”v(t)” )]”=” [■(“x” @”v” )]_”t” “=” [■(“u” _”11″ “(t)” &”u” _”12″ “(t)” @”u” _”21″ “(t)” &”u” _”22″ “(t)” )][■(“A” _”1″ @”A” _”2″ )]
“A” _”1″ و”A” _”2″ ثوابت اختیاری هستند و نیز
(2-22) [■(“u” _”11″ “(t)” &”u” _”12″ “(t)” @”u” _”21″ “(t)” &”u” _”22″ “(t)” )]”=” [■(“u” _”1″ “(t)” &”u” _”2″ “(t)” @”u”  ̇_”1″ “(t)” &”u”  ̇_”2″ “(t)” )]
رونسکین دو جواب u_”1″ (t) و u_”2″ (t) در بازه “0≤ t ≤T” ثابت است و با دترمینان زیر داده میشود:
(2-23) “W” _0 |■(“u” _”11″ “(t)” &”u” _”12″ “(t)” @”u” _”21″ “(t)” &”u” _”22″ “(t)” )|”=” “u” _”1″ (“t” ) “u”  ̇_”2″ (“t” )”-” “u”  ̇_”1″ “(t)” “u” _”2″ (“t” )
چون دو جواب “u” _”1″ (“t” ) و “u” _”2″ (“t” ) مستقل خطیاند “W” _0 “≠0” و ماتریس (2-22) تکنیه نیست و معکوس آن به شکل زیر است:
(2-24) [■(“u” _”11″ “(t)” &”u” _”12″ “(t)” @”u” _”21″ “(t)” &”u” _”22″ “(t)” )]^”-1″ “=” “1” /”W” _0 [■(“u” _”22″ “(t)” &〖”-u” 〗_”12″ “(t)” @〖”-u” 〗_”21″ “(t)” &”u” _”11″ “(t)” )]
اگر “x” _”0″ و”v” _”0″ مقادیر اولیه x(t) و v(t) در “t=0” باشند و علامتگذاری زیر را بکار ببریم:
(2-25) [■(“x” @”v” )]_”t=0″ “=” [■(“x” _0@”v” _0 )]
از معادله (2-21) خواهیم داشت:
(2-26) [■(“x” _0@”v” _0 )]”=” [■(“u” _”11″ “(0)” &”u” _”12″ “(0)” @”u” _”21″ “(0)” &”u” _”22″ “(0)” )][■(“A” _”1″ @”A” _”2″ )]
(2-27) [■(“A” _”1″ @”A” _”2″ )]”=” [■(“u” _”11″ “(0)” &”u” _”12″ “(0)” @”u” _”21″ “(0)” &”u” _”22″ “(0)” )][■(“x” _”0″ @”v” _”0″ )]”=” “1” /”W” _”0″ [■(“u” _”22″ “(0)” &〖”-u” 〗_”12″ “(0)” @〖”-u” 〗_”21″ “(0)” &”u” _”11″ “(0)” )][■(“x” _”0″ @”v” _”0″ )]
که این رابطه ثابتهای اختیاری را بر حسب شرایط اولیه داده شده تعیین میکند. اگر رابطه (2-27) را در (2-21) قرار دهیم نتیجهای به صورت زیر حاصل میشود:
(2-28) [■(“x” @”v” )]_”t” “=” “1” /”W” _0 [■(“u” _”11″ “(t)” &”u” _”12″ “(t)” @”u” _”21″ “(t)” &”u” _”22″ “(t)” )][■(“u” _”22″ “(0)” &〖”-u” 〗_”12″ “(0)” @〖”-u” 〗_”21″ “(0)” &”u” _”11″ “(0)” )][■(“x” _0@”v” _0 )]
بسط جواب به خارج از بازه “0≤ t ≤T” بوسیله ضرب ماتریسها امکانپذیر است. اگر یک تغییر متغیر به شکل زیر در معادله هیل (2-19) انجام دهیم:
(2-29) “0≤ t≤T” که “τ=t-nT”
“n=0,1,2,3”
معادله هیل به شکل زیر تبدیل میشود:
(2-30) (“d” ^”2″ “x” )/〖”dt” 〗^”2″ “+F(τ)x=0”
به دلیل دورهای بودن ” F(τ)” رابطه زیر برقرار است:
(2-31) “F(τ+nT)=F(τ)”
بنابراین معادله هیل نسبت به تغییر متغیر (2-29) ناورداست.
جوابهایی به شکل رابطه (2-28) را در هر بازه “0≤ t≤T” میتوان به دست آورد. مقادیر نهایی x و v در انتهای هر بازه تغییرات “F(t)” به عنوان مقادیر اولیه x و v در بازه بعدی بکار میرود.
در انتهای هر دوره تناوب t=T رابطه ی (2-28) به شکل زیر در میآید.
(2
-23) [■(“x” @”v” )]_”t” “=” “1” /”W” _0 [■(“u” _”11″ “(T)” &”u” _”12″ “(T)” @”u” _”21″ “(T)” &”u” _”22″ “(T)” )][■(“u” _”22″ “(0)” &〖”-u” 〗_”12″ “(0)” @〖”-u” 〗_”21″ “(0)” &”u” _”11″ “(0)” )][■(“x” _0@”v” _0 )]
با توجه به نمادگذاری زیر:
(2-33) [“M” ]”=” [■(“A” &”B” @”C” &”D” )]”=” “1” /”W” _0 [■(“u” _”11″ “(T)” &”u” _”12″ “(T)” @”u” _”21″ “(T)” &”u” _”22″ “(T)” )][■(“u” _”22″ “(0)” &〖”-u” 〗_”12″ “(0)” @〖”-u” 〗_”21″ “(0)” &”u” _”11″ “(0)” )]
رابطه (2-32) را میتوان به شکل زیر نوشت:
(2-34) [■(“x” @”v” )]_”t” “=” [“M” ][■(“x” _0@”v” _0 )]”=” [■(“A” &”B” @”C” &”D” )][■(“x” @”v” )]
چون رونسکین “W” _0 دو جواب u_”1″ (t) و u_”2″ (t) ثابت است. میتوان دید که دترمینان ماتریس [“M” ] مقدار یک را اختیار میکند:
(2-35) |”M” |”=” |■(“A” &”B” @”C” &”D” )|”=” (“AD-BC” )”=1″
داریم:
(2-36) [■(“x” @”v” )]_”2T” “=” [■(“A” &”B” @”C” &”D” )] [■(“x” @”v” )]_”T” “=” [■(“A” &”B” @”C” &”D” )][■(“x” _0@”v” _0 )]”= ” [“M” ]^”2″ [■(“x” @”v” )]_”T”
به طور مشابه میتوان دید که در انتهای n پریود داریم:
(2-37) [■(x@v)]_”nT” =[■(A&B@C&D)]^n [■(“x” _0@”v” _0 )]= [M]^”n” [■(x@v)]
و جواب در بازه (1(n+ ام به این صورت است:
(2-38) [■(“x” @”v” )]_”nT+τ” “=” [■(“u” _”11″ “(τ)” &”u” _”12″ “(τ)” @”u” _”21″ “(τ)” &”u” _”22″ “(τ)” )][■(“u” _”22″ “(0)” &〖”-u” 〗_”12″ “(0)” @〖”-u” 〗_”21″ “(0)” &”u” _”11″ “(0)” )] [■(“x” @”v” )]_”nT”
که “0≤ τ≤T” معادله (2-38) حل معادله هیل در هر زمان0t > بر حسب شرایط اولیه و دو جواب مستقل خطی معادله هیل در بازه “0≤ t≤T” خواهد بود.
2-3-1 محاسبه توانهای صحیح [“M” ]
توانهای صحیح ماتریس [“M” ] که در معادله (2-37) مورد نیاز است. به سادگی از قضیه سیلوستر بدست میآید. این قضیه مهم بیان میکند که اگر ریشههای مشخصه یا نهفته ماتریس [“M” ] یعنی 1r 2 rمجزا باشند و “P(” [“M” ]) هر چند جملهای از [“M” ] باشد داریم:
(2-39) “P” ([“M” ])”=P(” “r” _”1″ “)” [“H” _0 (“r” _”1″ )]”+P(” “r” _”2″ “)” [“H” _0 (“r” _”2″ )]
که،
(2-40) [“H” _0 (“r” _”1″ )]”=” [“F” (“r” _”1″ )]/(“dΔ” /”dr” )_(“r=” “r” _”1″ )
[“F” (“r” )] الحاقی ماتریس مشخصه ماتریس [“M” ] میباشد و از شماره 9 جدول 2-1 بدست میآید. “Δ(r)” تابع مشخصه ماتریس [“M” ] از شماره 5 جدول (2-1) بهدست میآید و به شکل زیر است.
(2-41) “Δ(r)=” “r” ^”2″ “-r” (“A+D” )”+1″
“dΔ(r)” /”dr” “=2r-(A+D)”
به منظور استفاده از قضیه سیلوستر برای محاسبه [“M” ]^”n” ، چند جملهای (2-24) را به شکل 〖”P” [“(M)” ]= [“M” ]〗^”n” انتخاب میکنیم. اگر “A+D ≠ ±2” باشد دو ریشه نهفته [“M” ] مجزا هستند و شماره 10 جدول (2-1) به آسانی از قضیه سیلوستر بدست میآید.
در حالتی که “A+D = ±2” است، هر دو ریشه نهفته مساوی یک هستند و شماره 12 جدول (2-1) توانهای [“M” ]را میدهند. اگر “A+D = -2” باشد هر دو ریشه نهفته [“M” ] ، 1- می شوند. در این حالت شماره 13 جدول (2-1) شکل مناسب برای توانهای [“M” ] را می دهد. در حالت مهمی که ریشههای نهفته مجزا هستند و [“M” ] متقارن است به طوری که A=D شکل مناسب توانهای [“M” ] با رابطه 11 جدول (2-1) بیان میشود. شمارههای 10 تا 13 جدول (2-1) تمام حالتهای خاص ممکن را شامل میشود.
ماتریس [“M” ] [“M” ]”=” [■(“A” &”B” @”C” &”D” )]
دترمینان [“M” ] |”M” |”=AD-BC=1″
معکوس [“M” ] [“M” ]^”-1″ “=” [■(“D” &”-B” @”-C” &”A” )]
ماتریس مشخصه [“M” ] [“f(r)” ]”=” [■(“(r-A)” &”-B” @”-C” &”(r-D)” )]
تابع مشخصه [“M” ] “Δ(r)=Del.[f(r)]=” “r” ^”2″ “-r” (“A+D” )”+1″
معادله مشخصه [“M” ] “Δ(r)=” “r” ^”2″ “-r” (“A+D” )”=0″
ریشههای نهفته یا مشخصه [“M” ] (سه حالت) “Δ(r)=” 0
“A+D2 ≠ :” r_1=e^a,r_2=e^(-a) که cosh⁡(a)=((A+D))/2 :اگر
“A+D = +2:” r_1=r_2=+1 :اگر
“A+D= -2:” r_1=r_2=-1 :اگر
معکوس ماتریس مشخصه [“f(r)” ]^”-1″ “=” “1” /”Δ(r)” [■(“(r-D)” &”-B” @”-C” &”(r-A)” )]
الحاقی ماتریس مشخصه [“f(r)” ]”=(r)” [“f(r)” ]^”-1″ “=” [■(“(r-D)” &”B” @”C” &”(r-A)” )]
توانهای صحیح [“M” ] (ریشههای نهفته مجزا) “A=D ≠ ±1”
[“M” ]^”n” “=” [■(“S” _”n+1″ “-D” “S” _”n” &”B” “S” _”n” @”C” “S” _”n” &”S” _”n+1″ “-A” “S” _”n” )]
“S” _”n” “=” “sinh” ⁡(“a” )”.” “cosh” ⁡(“a” )”=(A+D)/r” که
توانهای صحیح [“M” ] حالت متقارن “A=D ≠ ±1” (ریشههای نهفته مجزا) cosh(a)=A
[“M” ]^”n” “=” [■(“cosh” ⁡(“an” )&”Z” _”0″ “sinh” ⁡(“an” )@”sinh” ⁡(“an” )/”Z” _”0″ &”cosh” ⁡(“an” ) )]
“Z” _0 “=” 〖”(B/C)” 〗^(“1″ /”2” ) “,n=0,1,2,3,…”
توانهای صحیح [M] (ریشههای مجزا مساوی) “r” _”1″ “=” “r” _”2″ “=+1 , A+D = +2”
[“M” ]^”n” “=” [■(“n(A-1)+1″ &”nB” @”nC” &”n(D-1)+1″ )]
“n=0,1,2,3,…”
توانهای صحیح [M]، ریشههای نهفته مساوی
“A+D = -2”
“r” _”1″ “=” “r” _”2″ “=-1”
[“M” ]^”n” “=” [■(“(A+1)” &”B” @”C” &”(D+1)” )]
“E” _”n” “=exp(jnπ),n=0,1,2,3,…”
“I=” [■(“1″ &”0″ @”0″ &”1″ )]”=Unit Matrix”
” ” جدول 1-2 :روابط اصلی شامل ماتریس [M]
2-3-2 حل معادله هیل- مایسنر:
معادله هیل (2-19) در حالت خاص موج مربعی برای توابع F(t) (شکل 2-3) توسط مایسنربه کار رفته است:

شکل 2-3
اگر T دوره موج مربعی باشد و موج از نظر ارتفاع از 1h تا 2h تغییر کند، معادله هیل به معادله زیر کاهش مییابد:
(2-42) (“d” ^”2″ “x” )/〖”dt” 〗^”2″ +”h” _”1″ “x=0 , 0≤ t ≤” T/2 ” ”
(“d” ^”2″ “x” )/〖”dt” 〗^”2″ +”h” _”1″ “x=0 , ” T/(2≤t≤T)
اگر داشته باشیم:
(2-43) “w” _”1″ “=” √(“h” _”1″ ) ” ” “w” _”2″ “=” √(“h” _”2″ )
جواب معادله (2-42) را در بازه “0≤ t ≤” “T” /”2″ میتوان به شکل ماتریس زیر نمایش داد:
(2-44)
[■(“x” @”v” )]_”t” “=” [■(“cos(” “ω” _”1″ “t)” &”sin” ⁡〖”(” “ω” _”1″ “t)” 〗 “/” “ω” _”1″ @”-” “ω” _”1″ “sin(” “ω” _”1″ “t)” &”cos(” “ω” _”1″ “t)” )][■(“x” _”0″ @”v” _”0″ )]
که “x” _0 و “v” _0 مقادیر اولیه x و v در 0t = هستند. مقادیر x و v در 2/t =T از رابطه زیر بدست میآیند:
(2-45) [■(“x” @”v” )]_(“T” /”2″ ) “=” [■(“cos(” “θ” _”1″ “)” &”sin” ⁡〖”(” “θ” _”1″ “)” 〗 “/” “ω” _”1″ @”-” “ω” _”1″ “sin(” “θ” _”1″ “)” &”cos(” “θ” _”1″ “)” )][■(“x” _0@”v” _0 )]
(2-46) θ_1=ω_1 T/2=T/2 √(“h” _”1″ )
چون مقادیر X و V در 2/t =T، مقادیر اولیه X و V در بازه بعدی T/2≤t≤T هستند داریم:
(2-47) [■(“x” @”v” )]_”T” “=” [■(“cos(” “θ” _”2″ “)” &”sin” ⁡〖”(” “θ” _”2″ “)” 〗 “/” “ω” _”2″ @”-” “ω” _”2″ “sin(” “θ” _”2″ “)” &”cos(” “θ” _”2″ “)” )][■(“cos(” “θ” _”1″ “)” &”sin” ⁡〖”(” “θ” _”1″ “)” 〗 “/” “ω” _”1″ @”-” “ω” _”1″ “sin(” “θ” _”1″ “)” &”cos(” “θ” _”1″ “)” )][■(“x” _0@”v” _0 )]
(2-48) θ_2=ω_2 T/2=T/2 √(“h” _2 )
از معادله (2-47) میتوان نتیجه را به شکل زیر نوشت:
(2-49) [■(“x” @”v” )]_”t” “=” [■(“A” &”B” @”C” &”D” )][■(“x” _0@”v” _0 )]”=” [“M” ][■(“x” @”v” )]
در این حالت ماتریس [M] به صورت زیر است:
(2-50) [“M” ]”=” [■(“A” &”B” @”C” &”D” )]”=” [■((“M” _”1″ “M” _”2″ “-” “N” _”1″ “N” _”2″


دیدگاهتان را بنویسید